Даже знаток математической логики часто поступает нелогично.
Попробуем теперь ответить на те же вопросы об учебнике геометрии под редакцией А.Н. Колмогорова.
Так ли уж он безупречен? Об обновленном содержании мы поговорим чуть позже.
Что же касается логичности изложения курса геометрии, то тут, на мой взгляд, А.Н. Колмогоров, в отличие от ортодоксов и любителей Киселева, не очень хорошо представлял себе «конечного потребителя». Ещё хуже представляли его себе некоторые реформаторы, требующие излагать аксиоматически даже алгебру. Между этими Сциллой приверженцев классики и Харибдой реформаторов-фанатиков А.Н. Колмогорову проскочить не удалось.
Поначалу содержание экспериментального учебника выглядело совсем сюрреалистично, лишний раз подчёркивая, до какой степени А.Н. Колмогоров не понимал, что есть «реальный школьник».
В.И. Арнольд вспоминал:
«Мой дорогой учитель, Андрей Николаевич Колмогоров, долго убеждал меня в необходимости дать наконец школьникам "настоящий" учебник геометрии, критикуя все существовавшие за то, что в них такие понятия, как "угол величиной в 721 градус", остаются без точного определения.
Предназначенное им для десятилетних школьников определение угла занимало, кажется, около двадцати страниц, и я запомнил только упрощенную версию: определение полуплоскости.
Оно начиналось с "эквивалентности" точек дополнения к прямой на плоскости (две точки эквивалентны, если соединяющий их отрезок прямую не пересекает). Затем — строгое доказательство того, что это отношение удовлетворяет аксиомам отношений эквивалентности; А эквивалентно А и так далее.
Ссылка на теорему (кажется, восемьдесят третью) из предыдущего курса доказывала затем, что дополнение разбивается на классы эквивалентности.
Еще несколько теорем устанавливали последовательно, что "множество классов эквивалентности, определенное предыдущей теоремой, является конечным", а затем что "мощность конечного множества, определенного предыдущей теоремой, равна двум".
И, в конце концов, торжественно-вздорное "определение": "Каждый из двух элементов конечного множества, мощность которого по предыдущей теореме равна двум, называется полуплоскостью"».
Однако представим себе на минуту, что Андрей Николаевич создал-таки логически корректный курс геометрии, к которому отнеслись благосклонно и прагматики и фанатики. Оценил бы этот подвиг «потребитель» - сегодняшний ученик 7 класса? Я думаю, нет!
Во-первых, ученик 7-го класса неискушён. С дедуктивным изложением встречается впервые в жизни. Методам его не обучен. Отличить логичное рассуждение от нелогичного не может. (Часто это не в состоянии сделать и его учитель, особенно, если надо не просто сравнить логичность двух изложений одинакового материала, а, взяв в руки какой-нибудь учебник, увидеть и восполнить в нем логические пробелы.)
Во-вторых, наш «потребитель» вообще не испытывает необходимости в логичности и каких-либо доказательствах. «Препод, я тебе и так верю!!! Зачем мне знать устройство этой штуки? Просто покажи, какие кнопки нажимать, чтобы работало». Эти слова готовы произнести 8 из 10 современных учеников. 40 лет назад лексика была бы другая, но смысл тот же.
Созданный под руководством А.Н. Колмогорова учебник геометрии для такого «потребителя» был излишне «академичен». Неоправданные, в угоду этой «академичности», потери времени на начальном этапе обучения приводили к нехватке времени на решение содержательных задач, особенно задач на доказательство и построение, что гробило геометрическую интуицию в её классическом понимании на корню. А изучение практически на каждом уроке новой темы срывало повторение и мешало усвоению информации. В результате по многим темам происходило лишь поверхностное понимание материала без выработки навыков его применения, усугубляемое разрешением и даже поощрением использования справочников вместо запоминания формул и развития памяти.
И это не все претензии к целесообразности и логичности методического построения учебника под редакцией А.Н. Колмогорова. Странным был и отказ от раннего введения в систематическом курсе понятия «аксиома». Первоначально от него вообще хотели отказаться в восьмилетней школе, поскольку «перечень допущений, принимаемых здесь без доказательств, настолько велик, что именовать их все аксиомами было бы затруднительно». Авторы, по их словам, понимали, «что удовлетворительное аксиоматическое построение геометрии было проведено лишь в самом конце XIX в.», и что изложение предмета нельзя начинать с идеи последовательно-логического построения геометрии, ибо эта идея «должна возникнуть в процессе познания новых фактов», которые ещё надо накопить.
Но может ли такая идея возникнуть спонтанно? Возможно ли её одновременное возникновение у большинства учеников без целенаправленного «подталкивания» к этой идее? И в каких местах учебника учитель может разглядеть эти «механизмы подталкивания»? Вопросы, ответов на которые я, читая рассматриваемый учебник, на его страницах не нашёл.
Следует отметить, что учебник при этом был переполнен утверждениями, которые принимались без доказательства. При этом вопрос об их обосновании не ставился, а отсутствие обоснования никак не подчеркивалось, что явно шло вразрез с декларируемым А.Н. Колмогоровым подходом к построению курса. «Недостатки» наглядного курса А.П. Киселева, раскритикованного именно по этому поводу, не устранялись, а буйно расцветали.
Кроме этого, ряд «второстепенных» теорем и построений в учебнике А.Н. Колмогорова оказался в числе задач без подзаголовка «теорема» или «теорема существования». Это, якобы, «облегчало курс». Были выброшены не только доказательства признаков равенства треугольников, что я, сообразуясь со своими вкусами, могу только приветствовать. Были отправлены в задачи теоремы о метрических соотношениях в круге, о точках пересечения медиан и высот треугольника, о вписанных и описанных четырехугольниках, формула Герона. Как результат – полное непонимание учащимися, да и учителями, какими же утверждениями они имеют право пользоваться в качестве теорем, доказанных в школе, а какими - нет. Это вступало в прямой и неразрешимый конфликт с теоретическим набором вузовских композиторов геометрических задач для вступительных экзаменов.
Но самым необдуманным, необоснованным и спорным было то, что основной метод геометрии Евклида – решение задач с помощью сравнения треугольников, оказался невостребованным. «Значительной практики решения косоугольных треугольников, преследующей своей целью приобретение соответствующих навыков, тема (теорема косинусов и синусов – A-S.) не предусматривает». А ведь это – основа конкурсных задач. И игнорирование этой основы привело к очевидному результату – ВУЗы констатировали очередной этап снижения навыков решения геометрических задач.
С объемом абстрактной теории, предложенным в экспериментальных учебниках, был явный перебор. И А.Н. Колмогоров, осознав, что к преподаванию математической логики, основ теории множеств, элементов общей алгебры (группы, кольца, поля) «опытный» учитель 1970 года готов не был, как не был он готов к этому в далеком 1939 году, вовремя пришел к выводу, что от элементов общей алгебры в школьной программе придётся отказаться, т.к. в неумелых руках попытки их введения могут вместо пользы принести вред.
Но и в выхолощенном виде новшества приносили вред. Теоретико-множественные и другие новые значки превратились в тех самых неумелых руках, а таких было более чем достаточно, в разновидность стенографических закорючек. Это давало методическому и прочему начальству так любимые ими формальные поводы для придирок к преподавателям, заставив последних сосредоточиться не на новых идеях, а на новых обозначениях.
Так что приходится констатировать - курса геометрии, логически более совершенного, чем раскритикованный курс Киселева, не получилось. Отрицательные последствия значительно перекрывали плюсы повысившейся логической строгости, тем более, что абсолютная строгость всё равно была недостижима.